Resolución de ecuaciones difíciles: de lo lineal a lo no lineal

Las ecuaciones no lineales aparecen en muy diversos contextos y, en particular, en muchos problemas matemáticos. Veamos tres ejemplos sencillos en los que se ven involucradas este tipo de ecuaciones:

a) Diagonales: Para calcular la diagonal de un cuadrado de lado l, basta aplicar el teorema de Pitágoras: d^2=l^2+l^2=2l^2 por lo que d=l?2 si se sabe calcular la raíz de 2, el problema está resuelto. Calcular es equivalente a encontrar un número que x verifique

Éste es un ejemplo de ecuación no lineal. Se dice que el valor de x buscado es una raíz de la ecuación.

b) Más diagonales: ¿Me cabe el televisor?: La publicidad de televisores informa de su tamaño en ¡pulgadas! (1 pulgada=2,54 cm); si son generosos, dan el formato (16:9 ó 4:3, típicamente); el dato es la medida de la diagonal de la pantalla. Si necesito saber el alto y ancho de una pantalla de 42 pulgadas y formato 16:9 (para ver si cabe en mi mueble, por ejemplo), debo resolver

ecuación no lineal cuya raíz x será la altura de la pantalla (en pulgadas); la anchura será 16x/9; para tenerlas en cm deberemos multiplicarlas por 2,54.

c) ¿Con quién contrato la hipoteca?: Para un crédito de una cantidad C a N años y a un tipo de interés nominal I=100i (i es el tanto por uno), la cantidad por amortizar tras n meses de vida del crédito es

siendo c la cuota mensual. Como al final del préstamo (i.e., tras 12N meses) no debemos nada al banco, se tiene la relación

que se reescribe

Aparecen cuatro cantidades: i, C, y N. Conocidas tres de ellas, el valor de la cuarta viene dado. Si la incógnita es el capital solicitado C o la cuota c, la ecuación es lineal. Cuando la incógnita es el número de años N, la ecuación se convierte en lineal tomando logaritmos. Pero si la incógnita es el tanto por uno i, la ecuación es no lineal. Así, si necesitamos un préstamo de 150.000€, a 20 años y con cuota mensual inferior a 1.000€, debemos ir a un banco que ofrezca un tipo de interés menor que el valor de la raíz de la ecuación

Resolver una ecuación lineal es trivial; hacerlo con una ecuación no lineal es, en general, mucho más complejo y, casi siempre, imposible (las ecuaciones de segundo grado, como las de a) y b), se saben resolver desde secundaria, pero no son, ni de lejos, un caso general). Resolver una ecuación lineal es, desde un punto de vista geométrico, encontrar el punto de corte de dos rectas. Así, la raíz de la ecuación 2x-5=0 es la abscisa del punto común de las rectas y =0 e y=2x-5 (figura (a)). Análogamente, la raíz de una ecuación no lineal F(x)=0 será el punto de corte de la gráfica de la función F(x) con la recta y = 0 (figura (b)).

Para resolver una ecuación no lineal, pasamos del problema original a una sucesión de ecuaciones lineales y cuyas raíces se vayan acercando a (cuyo límite sea, en términos matemáticos) la raíz buscada. El método de Newton consiste en ir trazando las rectas tangentes a la gráfica de F en puntos sucesivos, a partir de uno arbitrario (figura (c)). La tangente es la recta que mejor aproxima a la curva; la idea es encontrar el corte de la tangente con la recta y = 0 (ecuación lineal, de resolución trivial): como no sabemos encontrar el corte de la función, hallamos el corte de la tangente que, si todo va bien, estará “cerca” de la raíz. Iterando el proceso aproximamos el valor buscado.

Tomamos la tangente a F en un punto que esté “cerca” de la raíz. Ésta viene dada por

siendo la derivada de F’. Sea el corte de esta recta con y = 0; su valor es

Ahora se toma la tangente a F en ; sea su corte con y = 0. En contextos adecuados, puede probarse que este proceso iterado conduce, como en la figura (c), a valores sucesivamente más cerca del buscado.

El método de Newton converge muy rápidamente (tiene convergencia cuadrática). Para la ecuación del tipo de interés, empezando con 0,09 (i.e., 9% de interés), obtenemos

Trabajando con una tolerancia de 10^-6(i.e., parando la iteración cuando dos valores consecutivos difieran en menos que 0,000001 y tomando el último calculado como valor de la raíz), el tipo de interés máximo que podemos aceptar es, aproximadamente, del 5,12%.

Juan-Antonio Infante del Río es profesor del departamento de Matemática Aplicada de la Universidad Complutense de Madrid.