¿Dónde están los números complejos?

Los números complejos aparecen en problemas algebraicos desde mediados del siglo XVI –de la mano de Cardano y Vieta- y desde entonces juegan un papel significativo en muchos problemas de análisis matemático, aunque hasta el siglo XIX no son totalmente aceptados por la comunidad matemática. Contribuye a su consolidación la propuesta de un modelo geométrico concreto, que anuló su consideración como un ser anfibio entre la existencia y la no existencia (en palabras de Leibniz). Wessel (1797), Argand (1806) y algo más tarde Gauss proponen un modelo geométrico para los números complejos, compatible con las operaciones suma y producto, donde son representados como puntos (o vectores) del plano. El número complejo a+bi es el par ordenado (a,b) del plano. La enorme reputación de Gauss aseguró la aceptación por los matemáticos del plano complejo y la teoría de funciones correspondiente. En la carta que Gauss envió a Bessel en 1811 se puede leer:

Yo preguntaría a cualquiera que quisiera introducir una nueva función en Análisis, que clarificara si desea confinarla a magnitudes reales (y considerar las imaginarias como simples vestigios) o si suscribe mi postura fundamental de que en el reino de las magnitudes, las imaginarias deben disfrutar de los mismos derechos que las reales.

Ejemplos comunes pueden comprenderse mejor si se considera la correspondiente función de argumento complejo: el mal comportamiento de funciones reales puede explicarse cuando consideramos variable compleja para ellas. Pensemos en f(x)=1/(1+x2), que es analítica en toda la recta real y tiene como expresión en serie de potencias en torno al 0 la suma  ?(-1)nx2n. La misma expresión para argumentos complejos, dado que el denominador 1+x2 se anula en ±i, a distancia 1 del 0, revela que la serie precedente no puede sumarse para números reales fuera del intervalo (-1,1), pese a la regularidad de f en toda la recta.

Para la familia de funciones reales fn(x)=xnsen(1/x), con x?0 y fn(0)=0, tenemos que f0 no es continua; f1 sí lo es, pero no derivable; f2 es derivable, pero la derivada no es continua. Podemos conseguir con valores de n grandes una función tantas veces derivable como se busque, pero no será infinitamente derivable. Basta considerar la correspondiente función de variable compleja, con una singularidad esencial en 0 para todo valor de n, para reconocer que la restricción a la recta real de esta función no podía tener un comportamiento regular.

Contemplar las funciones elementales reales en el marco complejo permite descubrir la relación existente entre ellas. Por ejemplo, la célebre fórmula de Euler dada por eii? = cos ? + i sen ? (válida para números reales y complejos) muestra cómo las funciones circulares seno y coseno pueden escribirse a través de la función exponencial y aclara que esta sea periódica de periodo 2?i; sobre la recta real, la función es estrictamente creciente.

La representación geométrica de funciones complejas de variable compleja no está exenta de dificultades. Seguir el patrón de aunar dominio e imagen en la misma figura exige trabajar combinando dos copias del plano (es decir, en dimensión real cuatro). Algunos virtuosos exhiben gran capacidad para representaciones de objetos sencillos en dimensión cuatro. Pero están muy lejos de elaborar una imagen fiable y transparente, incluso para funciones elementales. Como alternativa, representamos funciones complejas sobre una copia del plano: a cada punto se le asigna un color. El color (matiz o tono) se fija siguiendo el arco cromático en el sentido contrario a las agujas del reloj, según el ángulo que se forma con el eje horizontal al unir el punto con el origen. La intensidad se determina según la distancia al origen: los puntos más oscuros están cerca  del origen y los claros, más alejados.  Una vez fijados el tono e intensidad de cada punto del plano, podemos obtener una imagen de cualquier función compleja f asignando a cada punto a+bi del dominio el color que le corresponde a su imagen f(a+bi). La función idénticamente nula sería una mancha negra en el papel. Las figuras son las funciones f(z)=z y f(z) constante -3-i.

Podemos observar que funciones como f(z)=1/z dan lugar a una imagen en la que el arco cromático invierte su sentido de giro e intercambia claros y oscuros (la distancia al origen de 1/z en inversamente proporcional a la de z). Mostramos otros ejemplos: las funciones f(z)=z4  y f(z)=1/z4. Ambas exhiben cuatro veces cada color en torno al origen (respectivamente,  en sentidos positivo y negativo). Se anima al lector a interpretar la función doblemente periódica que se muestra para concluir, reconociendo en ella los dos periodos; los puntos donde se anula (marcados en negro; a su alrededor, se despliega el arco cromático en sentido antihorario) y los puntos en que la función se comporta como lo hace g(z)=1/z2 cerca del 0 (recorre el arcoiris dos veces en el sentido de las agujas del reloj).

Ángeles Prieto Yerro es profesora del Dpto. de Análisis Matemático de la Facultad de Matemáticas de la Universidad Complutense de Madrid.